Materi dan contoh soal Irisan Kerucut HIPERBOLA

MATERI DAN CONTOH SOAL HIPERBOLA

Irisan kerucut adalah tempat kedudukan  titik-titik pada bidang yang perbandingan  jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis   selalu tetap. Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris  sejajar dengan sumbu simetri.

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

     

Hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).

• F1 (-c, 0) dan F2 ( c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a.

• Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.

• Sumbu mayor adalah A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B1B2, panjangnya 2b.

• Titik A1 dan A2 disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.

• Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah

2b²

                             a

• Persamaan asimtot hiperbola adalah

    

• Eksentrisitas = e =  c  , dengan e > 1.

                                  a

• Persamaan garis direktriks adalah

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu   c² = a² + b².

Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

        

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah

x²    −     y²    =   1

          a²            b²

Titik fokus adalah  F1(c, 0) dan  F2(-c, 0).

Titik puncak adalah A1(a, 0) dan A2(-a, 0).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah

y² − x² = 1

a²    b²

Titik fokus adalah F1(0, c) dan F2(0, -c).

Titik puncak adalah A1(0, a) dan A2(0, -a).

Persamaan asimtotnya adalah

Contoh soal :

1. Diketahui persamaan hiperbola 4x² – 9y² = 36.  

 Tentukanlah :

a.Koordinat pusat

b.Koordinat titik puncak

c.Koordinat titik focus

d.Persamaan garis direktriks

e. Persamaan garis asimtot 

f. Panjang latus rectum

g. eksentrisitas

d. Persamaan garis direktriks

h. sketsa grafiknya

 Penyelesaian:

4x² – 9y²=36 ↔ x² − y²=1

                            9     4

a²=9↔a=3                   b²=4↔b=2

a. koordinat titik pusatnya adalah ( 0,0)! 

b. koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) adalah (3,0) dan (-3,0)

c. c=√a²+b² = √9+4=√13

koordinat titik fokusnya F1 (-c,0) dan F2 (c,0) adalah F1 ( √13, 0) dan F2 ( √13,0)

d. Persamaan garis direktriksnya adalah

x =  a²  =    9   =  9  √13 dan   x = −a² = −9 √13

       c      √13     13                          c       13

e. Persamaan garis asimtotnya adalah

 y = b  x = 2 x  dan  y = − bx = −2 x

       a        3                         a        3 

e. Panjang latus rectum :

 L = 2b² =  2.4  = 8

         a         3      3

f. Nilai eksentrisitas

e =  c  =  √13

       a          3